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id stringlengths 5 12 | theme stringlengths 5 22 | level stringclasses 2 values | problem stringlengths 24 342 | answer stringlengths 1 67 | solution stringlengths 11 746 |
|---|---|---|---|---|---|
1_pc_cpge | Mechanics | cpge | Une sphère homogène de masse $m$ et de rayon $R$ roule sans glisser sur un plan incliné d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. Son accélération du centre de masse est :
- $g\sin\alpha$
- $\frac{3}{7}g\sin\alpha$
- $\frac{5}{7}g\sin\alpha$
- $\frac{2}{5}g\sin\alpha$ | \frac{5}{7}g\sin\alpha | Pour une sphère solide, le moment d'inertie est $I=\frac{2}{5}mR^2$. En appliquant la deuxième loi de Newton et la condition de roulement sans glissement, on obtient $a=\frac{mg\sin\alpha}{m+I/R^2}=\frac{5}{7}g\sin\alpha$. |
2_pc_cpge | Mechanics | cpge | La période $T$ d'un satellite de masse négligeable en orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre (masse $M$) est donnée par :
- $2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
- $2\pi\sqrt{\frac{r}{GM}}$
- $\frac{2\pi r}{\sqrt{GM}}$
- $2\pi\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ | 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} | En appliquant la loi de la gravitation et la force centripète, on obtient $\omega^2=GM/r^3$, soit $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$. |
3_pc_cpge | Electromagnetism | cpge | Une spire circulaire de rayon $R$ est parcourue par un courant $I$. L'intensité du champ magnétique $B$ au centre de la spire est :
- $0$
- $\frac{\mu_0 I}{2R}$
- $\frac{\mu_0 I}{R}$
- $\frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ | \frac{\mu_0 I}{2R} | Le champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon $R$ parcourue par $I$ est $B=\frac{\mu_0 I}{2R}$ (direction perpendiculaire au plan de la spire). |
4_pc_cpge | Electrostatics | cpge | On dispose de deux plaques parallèles immergées dans le vide, de surface $S$ et séparées par une distance $e$. La capacité du condensateur ainsi formé est :
- $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$
- $C=2\epsilon_0\frac{S}{e}$
- $C=\epsilon_0\frac{e}{S}$
- $C=\frac{\epsilon_0 S^2}{e}$ | C=\epsilon_0\frac{S}{e} | La capacité d'un condensateur plan dans le vide est $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$, où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide. |
5_pc_cpge | Thermodynamics | cpge | Un moteur thermique de Carnot fonctionne entre deux sources de températures $T_H$ et $T_C$ (en Kelvin). Son rendement maximal $\eta$ est :
- $1 - \frac{T_H}{T_C}$
- $1 - \frac{T_C}{T_H}$
- $\frac{T_H - T_C}{T_H + T_C}$
- $\frac{T_C}{T_H}$ | 1 - \frac{T_C}{T_H}$
- | Le rendement d'un cycle de Carnot est $\eta =1 - \frac{T_C}{T_H}$, où $T_H$ est la température de la source chaude et $T_C$ de la source froide. |
6_pc_cpge | Thermodynamics | cpge | Pour un gaz parfait diatomique, on note $\gamma = C_p/C_v$. Quelle est la valeur de $\gamma$ à température modérée (où seules les rotations sont activées) ?
- $ rac{7}{5}$
- $ rac{5}{3}$
- $ rac{3}{2}$
- $ rac{9}{7}$ | \frac{7}{5} | Pour un gaz parfait diatomique (2 degrés de liberté de rotation), $C_p/C_v=\gamma=7/5$. |
7_pc_cpge | Relativity | cpge | Un vaisseau se déplace à la vitesse $v=0.6c$ par rapport à la Terre. Dans le repère du vaisseau, un événement dure $\Delta t_0=10\,$s. Quel est l'intervalle de temps $\Delta t$ mesuré sur Terre ?
- $\Delta t = 10\,$s
- $\Delta t = 12.5\,$s
- $\Delta t = 16\,$s
- $\Delta t = 25\,$s | \Delta t = 12.5\, | Le facteur de Lorentz est $\gamma=1/\sqrt{1-(0.6-^2/c^2}=1.25$. La durée mesurée est dilatée: $\Delta t=\gamma\Delta t_0=1.25\times10\approx12.5\,$s. |
8_pc_cpge | Relativity | cpge | Quelle est l'énergie totale $E$ d'une particule de masse au repos $m$ en mouvement relativiste à la vitesse $v$ ?
- $E=mc^2$
- $E=\frac{1}{2}mv^2$
- $E=\gamma mc^2$
- $E=(\gamma -1)mc^2$ | E=\gamma mc^2 | L'énergie totale relativiste est donnée par $E=\gamma mc^2$, où $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. |
9_pc_cpge | Waves | cpge | Pour un oscillateur harmonique amorti soumis à une force sinusoïdale de pulsation $\omega$, l'amplitude maximale (résonance) se produit pour la pulsation :
- $\omega=\omega_0$
- $\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$
- $\omega=\sqrt{\omega_0^2+2\gamma^2}$
- $\omega=\gamma$ | \omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2} | Pour un oscillateur amorti (coefficient $\gamma=b/(2m)$), la pulsation de résonance vérifie $\omega_{res}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$. |
10_pc_cpge | Waves | cpge | Pour un oscillateur harmonique (masse $m$, raideur $k$) avec frottement critique, le coefficient de frottement $b$ vérifie :
- $b=\sqrt{4mk}$
- $b=2\sqrt{mk}$
- $b=\sqrt{m/k}$
- $b=m/k$ | b=2\sqrt{mk} | Pour un amortissement critique, on a $b_{crit}=2\sqrt{mk}$ (formule obtenue à partir du discriminant de l'équation différentielle). |
11_pc_cpge | Waves | cpge | Une source sonore approche d’un observateur fixe à une vitesse $v_s=30.0\,$m/s (rapide) dans l’air ($c=340\,$m/s). La fréquence émise est $f_0=1000\,$Hz. Quelle est la fréquence $f'$ perçue par l’observateur ? (effet Doppler)
- $f'=1150\,$Hz
- $f'=1100\,$Hz
- $f'=1000\,$Hz
- $f'=950\,$Hz | 1100\,\text{Hz} | Avec la source se rapprochant, $f' = f_0\frac{c}{c-v_s} =1000\frac{340}{340-30}\approx1097\,$Hz. |
12_pc_cpge | Waves | cpge | Deux ondes sinusoïdales transversales de même amplitude $A$ et même fréquence sont superposées. Si leur déphasage constant est $\pi$ (opposition de phase), l'amplitude résultante est :
- $0$
- $A$
- $2A$
- $\sqrt{2}A$ | 0 | En opposition de phase ($\Delta\phi=\pi$), les crêtes d'une onde coïncident avec les creux de l'autre, donc l'amplitude résultante est $|A-A|=0$. |
13_pc_cpge | Optics | cpge | Pour une lentille mince convergente de distance focale $f$, la relation de conjugaison entre la distance de l'objet $d_o$, la distance de l'image $d_i$ et la focale est :
- $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$
- $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$
- $f=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$
- $f=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$ | \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} | La formule des lentilles minces est $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ (distances signées selon la convention usuelle). |
14_pc_cpge | Optics | cpge | Un rayon lumineux passe de l'air (indice $n_1=1.00$) dans le verre (indice $n_2=1.50$) avec un angle d'incidence $i=30^\circ$. Selon la loi de Snell-Descartes, l'angle de réfraction $r$ vérifie :
- $\sin r = 1.50\sin30^\circ$
- $\sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$
- $\sin r = \frac{1.50}{1.00}\sin30^\circ$
- $r=30^\circ$ | \sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ | La loi de Snell est $n_1\sin i = n_2\sin r$. Ici $\sin r =\frac{n_1}{n_2}\sin i=\frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$. |
15_pc_cpge | Optics | cpge | Deux fentes d'écartement $a=0.20\,$mm sont éclairées par une lumière de longueur d'onde $\lambda=600\,$nm. L'écran est situé à une distance $D=2.0\,$m des fentes. L'écart entre deux franges d'interférence consécutives est :
- $1.2\,$mm
- $6.0\,$mm
- $12.0\,$mm
- $0.6\,$mm | 6.0\,$mm | La distance inter-franges est $i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{600\times10^{-9}\times2.0}{0.20\times10^{-3}}=6.0\times10^{-3}\,$m soit $6.0\,$mm. |
16_pc_cpge | Waves | cpge | Une corde vibrante de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités vibre avec des modes stationnaires de vitesse de propagation $v$. La fréquence du mode $n$ est :
- $f_n=\frac{v}{L}$
- $f_n=\frac{v}{2L}$
- $f_n=\frac{nv}{2L}$
- $f_n=\frac{nv}{L}$ | f_n=\frac{nv}{2L}$
- | Pour une corde fixe aux deux extrémités, les modes stationnaires ont des longueurs d'onde $\lambda_n=2L/n$, donc $f_n=v/\lambda_n=\frac{nv}{2L}$. |
17_pc_cpge | Acid–Base | cpge | Quelle est la valeur du pH d'une solution aqueuse de HCl 0,01 M (acide chlorhydrique fort) ?
- 2
- 3
- 1
- 12 | 2 | HCl est un acide fort, $[\mathrm{H}^+]=0.01$ M donc pH= -log(0,01)=2. |
18_pc_cpge | Acid–Base | cpge | On a une solution tampon constituée d’acide acétique (pKa = 4,76) et de son acétate dans les concentrations suivantes : [HA] = 0,10 M et [A^-] = 0,05 M. Le pH de la solution est :
- 4,46
- 4,76
- 5,26
- 3,76 | 4,46 | D’après Henderson-Hasselbalch: $\mathrm{pH}= \mathrm{p}K_a + \log\frac{[A^-]}{[HA]} = 4,76 + \log(0,05/0,10)=4,76 -0,30 \approx 4,46$. |
19_pc_cpge | Thermodynamics | cpge | Une réaction chimique a $\Delta H^\circ<0$ et $\Delta S^\circ<0$. À quelle condition sur la température $T$ la réaction est-elle spontanée ($\Delta G<0$) ?
- $T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$
- $T > \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$
- Toujours spontanée
- Jamais spontanée | T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ} | ΔG°=ΔH° - TΔS°. Si ΔH°<0 et ΔS°<0, alors ΔG°<0 si $T< \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ (les deux étant négatifs, le rapport est positif). |
20_pc_cpge | Reaction | cpge | Pour une réaction endothermique, comment la constante d'équilibre $K$ varie-t-elle lorsque la température augmente ?
- $K$ augmente
- $K$ diminue
- $K$ reste constante
- $K$ devient nulle | K \text{augmente} | Selon la loi de Van't Hoff, si ΔH°>0 (réaction endothermique), augmenter $T$ augmente $K$ (la réaction est favorisée par la chaleur). |
21_pc_cpge | Reaction | cpge | Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de méthyle CH$_3$Br avec l'ion hydroxyde (OH$^-$) ?
- SN1
- SN2
- E1
- E2 | SN2 | CH$_3$Br est un halogénoalcane primaire, et OH$^-$ est un nucléophile fort. Le mécanisme favorisé est la substitution nucléophile bimoléculaire (SN2). |
22_pc_cpge | Reaction | cpge | Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de tert-butyle (C(CH$_3$)$_3$Br) avec l'eau (solvant polaire protique) ?
- SN1
- SN2
- E1
- E2 | SN1 | Le bromure de tert-butyle est très encombré et l'eau est un solvant polaire protique. La substitution nucléophile monomoléculaire (SN1) est privilégiée, par formation d’un carbocation tertiaire intermédiaire. |
23_pc_cpge | Orbitals | cpge | Considérons la molécule H$_2$. Quel est son ordre de liaison selon la théorie des orbitales moléculaires ?
- 0
- 1
- 2
- 0,5 | 1 | Pour H$_2$, deux électrons occupent l'orbitale liante σ(1s). L'ordre de liaison est $(n_l-n_-/2 = (2-0)/2 = 1$. |
24_pc_cpge | Hybridation | cpge | Dans la molécule CH$_4$, l'atome de carbone est hybridé :
- sp
- sp^2
- sp^3
- sp^3d | sp^3 | Le carbone de CH$_4$ est tétraédrique, ce qui correspond à une hybridation sp^3. |
25_pc_cpge | Acid–Base | cpge | Quel est le pH au point d’équivalence d’un titrage d’un acide fort par une base forte ?
- 7
- 1
- 14
- 0 | 7 | Au point d’équivalence d’un acide fort titré par une base forte, la solution est neutre (ni acide ni basique), donc pH≈7. |
1_pc_bac | Mechanics | bac | La deuxième loi de Newton s’énonce :
- $\vec{F}=m\vec{a}$
- $\vec{F}=m\vec{v}$
- $\vec{F}=m/g$
- $\vec{F}=mg$ | \vec{F} = m\vec{a} | Somme des forces égale à $m\vec{a}$. |
2_pc_bac | Mechanics | bac | Une force de $6\,$N est appliquée à un objet de masse $2\,$kg. Quelle est son accélération (en m/s$^2$) ? | 3 | Avec $F=ma$, $a=F/m=6/2=3\,\text{m/s}^2$. |
3_pc_bac | Mechanics | bac | Une voiture accélère de $2\,$m/s à $7\,$m/s en $5\,$s. Calculer son accélération moyenne (en m/s$^2$). | 1 | Accélération moyenne $=\dfrac{7-2}{5}=1\,\text{m/s}^2$. |
4_pc_bac | Mechanics | bac | La valeur de l’accélération de la pesanteur près de la surface de la Terre est environ :
- $9.8$
- $8.9$
- $10.8$
- $9.81$ | 9.8 | Valeur usuelle : $g\approx 9.8\,\text{m/s}^2$. |
5_pc_bac | Electricity | bac | Quelle loi relie la tension $V$, l’intensité $I$ et la résistance $R$ dans un conducteur ohmique ?
- $V=RI$
- $R=VI$
- $V=I/R$
- $I=VR$ | V = RI | Loi d’Ohm : $V=RI$. |
6_pc_bac | Electricity | bac | Dans un circuit, $V=12\,$V et $I=2\,$A. Calculer la résistance $R$. | 6 | Par $R=V/I=12/2=6\,\Omega$. |
7_pc_bac | Electricity | bac | Deux résistances de $2\,\Omega$ et $3\,\Omega$ sont montées en série. Leur résistance équivalente est :
- $5$
- $6$
- $1.2$
- $0$ | 5 | En série, les résistances s’additionnent : $2+3=5\,\Omega$. |
8_pc_bac | Electricity | bac | Un condensateur de capacité $C=10\,\mu\text{F}$ est soumis à $V=5\,$V. Calculer la charge $Q$ (en
-. | 5\times 10^{-5} | Relation $Q=CV=10\times10^{-6}\times 5=5\times10^{-5}\,$C. |
9_pc_bac | Waves | bac | Une onde se propage à $340\,$m/s avec une fréquence de $170\,$Hz. Quelle est sa longueur d’onde (en m) ? | 2 | Avec $v=\lambda f$, $\lambda=340/170=2\,$m. |
10_pc_bac | Waves | bac | Parmi les propositions suivantes, laquelle est une onde électromagnétique ?
- Lumière
- Son en air
- Onde sismique
- Onde de pression | \text{Lumière} | La lumière est une onde électromagnétique ; le son est mécanique. |
11_pc_bac | Waves | bac | Une onde a une fréquence de $2\,$Hz. Quelle est sa période (en s) ? | 0.5 | La période $T=1/f=1/2=0.5\,$s. |
12_pc_bac | Waves | bac | Laquelle de ces ondes est transversale ?
- Lumière
- Son en air
- Onde de pression
- Onde sismique longitudinale | \text{Lumière} | Les ondes électromagnétiques (lumière) sont transversales ; le son en air est longitudinal. |
13_pc_bac | Thermodynamics | bac | Quel volume (en m$^3$) occupe 1 mole d’un gaz parfait à $T=273\,$K et $P=101325\,$Pa ? | 0.0224 | Équation d’état : $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{1\cdot 8.314\cdot 273}{101325}\approx 0.0224\,\text{m}^3$. |
14_pc_bac | Thermodynamics | bac | Le premier principe de la thermodynamique s’écrit :
- $\Delta U=Q-W$
- $\Delta S>0$
- $PV=nRT$
- $\Delta U=0$ | \Delta U = Q - W | Conservation de l’énergie interne : $\Delta U=Q-W$ (chaleur reçue moins travail fourni). |
15_pc_bac | Thermodynamics | bac | Quelle quantité de chaleur (en J) faut-il pour élever de $5^{\circ}\,$C la température de $1\,$kg d’eau ($c=4180\,$J/kg·K) ? | 20900 | $Q=mc\Delta T=1\times 4180\times 5=20900\,$J. |
16_pc_bac | Organic Chemistry | bac | Lequel des groupements fonctionnels suivants correspond à un alcool ?
- R–OH
- R–CHO
- R–COOH
- R–NH$_2$ | R-OH | Un alcool porte le groupe hydroxyle $-\mathrm{OH}$. |
17_pc_bac | Organic Chemistry | bac | Combien d’isomères existe-t-il pour le composé $\mathrm{C_3H_8}$ (propane) ?
- 1
- 2
- 3
- 0 | 1 | Le propane n’admet qu’une seule structure de chaîne : un unique isomère. |
18_pc_bac | Organic Chemistry | bac | Quelle est la masse (en g) de $2$ moles de $\mathrm{CH_4}$ (masse molaire $16\,$g·mol$^{-1}$) ? | 32 | Masse $=n\times M=2\times 16=32\,$g. |
19_pc_bac | Chemical Reactions | bac | Laquelle des réactions suivantes est une réaction d’oxydoréduction ?
- $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$
- $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$
- $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$
- $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$ | 2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O} | Dans $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$, H est oxydé et O est réduit : réaction d’oxydoréduction. |
20_pc_bac | Chemical Reactions | bac | Balancer la réaction $\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to \mathrm{H_2O}$. Quel est le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ ? | 2 | Équilibrage : $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$. Le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ est $2$. |
21_pc_bac | Chemical Reactions | bac | Laquelle de ces réactions est une réaction acide–base ?
- $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$
- $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$
- $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$
- $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$ | \mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O} | Neutralisation acide–base produisant un sel et de l’eau. |
22_pc_bac | Electrochemistry | bac | Dans une pile électrochimique, l’anode est l’électrode où a lieu :
- l’oxydation
- la réduction
- l’électrolyse
- la corrosion | l'oxydation | Par convention, l’oxydation (perte d’électrons) a lieu à l’anode. |
23_pc_bac | Electrochemistry | bac | On donne $E^\circ(\mathrm{Zn^{2+}/Zn})=-0.44\,$V et $E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu})=+0.34\,$V. Calculer $E^\circ_{\text{pile}}$ pour une pile Zn/Cu. | 0.78~\text{V} | $E_{\text{pile}}=E_{\text{cathode}}-E_{\text{anode}}=0.34-(-0.44)=0.78\,$V. |
24_pc_bac | Electrochemistry | bac | Un courant de $5\,$A circule pendant $2\,$s. Quelle charge électrique (en
- a été transférée ? | 10 | Charge $Q=It=5\times 2=10\,$C. |
25_pc_bac | Electrochemistry | bac | Combien de coulombs correspond à une mole d’électrons (constante de Faraday) ? | 96485 | La constante de Faraday vaut environ $F\approx 96485\,$C·mol$^{-1}$. |
1_math_cpge | Analysis | cpge | Calculer la somme : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right)$. | 0 | On commence par séparer la somme en deux : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k}$. On effectue ensuite le changement d'indice $j = n+1-k$ dans la deuxième somme, ce qui donne $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}$. Ainsi, la somme devient $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 0$. |
2_math_cpge | Analysis | cpge | Calculer la somme suivante : $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1)$. Quelle est la bonne réponse ?
- $n^2$
- $\frac{n(n+1)}{2}$
- $n(n-1)$
- $2n$ | \frac{n(n+1)}{2} | Effectuons le changement d'indice $\ell = n - k + 1$. Lorsque $k$ varie de 1 à $n$, $\ell$ varie aussi de 1 à $n$. Ainsi, $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1) = \sum_{\ell=1}^{n} \ell = \frac{n(n+1)}{2}$. |
3_math_cpge | Trigonometry | cpge | Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\tan x \ge 1$. Quelle est la bonne réponse ?
- $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [0 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$
- $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$
- $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/2 + k\pi, \pi + k\pi[$
- $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\pi/4 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$ | \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[ | On considère un intervalle de longueur $\pi$. Comme $\tan(\pi/4) = 1$, l'inéquation $\tan x \ge 1$ est vérifiée pour $x$ dans $[\pi/4, \pi/2[$. En ajoutant $k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on obtient l'ensemble des solutions $S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$. |
4_math_cpge | Exponential Equations | cpge | Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - e^x - 6 = 0$. | \ln(3) | On pose $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - X - 6 = 0$. Les racines de cette équation sont $X = -2$ et $X = 3$. Comme $e^x > 0$, seule la racine positive $X = 3$ est valable. Donc $e^x = 3$, ce qui donne $x = \ln(3)$. |
5_math_cpge | Limits | cpge | Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$. | \frac{1}{2} | On factorise par $e^x$ au dénominateur : $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}} = \frac{1}{2 + e^{-3x}}$. Or $\lim_{x\to +\infty} e^{-3x} = 0$, donc la limite vaut $\frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$. |
6_math_cpge | Limits | cpge | Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$. | 0 | Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$ et $e^{-2x}\to +\infty$, donc $2e^x + e^{-2x}\sim e^{-2x}\to +\infty$. Par quotient, $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}\to 0$. |
7_math_cpge | Number Theory | cpge | Quels sont les diviseurs positifs communs à 390 et 525 ?
- {1, 3, 5, 15}
- {1, 5, 25}
- {1, 2, 5, 10}
- {1, 3, 9, 27} | {1, 3, 5, 15} | On calcule le pgcd de 390 et 525 avec l'algorithme d'Euclide : $\text{pgcd}(390, 525) = 15$. Les diviseurs communs de 390 et 525 sont donc les diviseurs positifs de 15, soit {1, 3, 5, 15}. |
8_math_cpge | Number Theory | cpge | Soient $n \in \mathbb{Z}$. Calculer le pgcd suivant : $\gcd(n^2+n, 2n+1)$. | 1 | On remarque que $4(n^2+n) = (2n+1)^2 - 1$. Ainsi, si $d$ divise à la fois $n^2+n$ et $2n+1$, alors $d$ divise aussi 1. Donc $\gcd(n^2+n, 2n+1) = 1$. |
9_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Soit $E_1=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P(0)=P(2)\}$. Déterminer si $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non. | 1 | On vérifie les propriétés d'un sous-espace vectoriel : (i) le polynôme nul est bien dans $E_1$, (ii) si $P,Q\in E_1$, alors $P+Q\in E_1$, (iii) si $P\in E_1$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $\lambda P\in E_1$. Donc $E_1$ est un sous-espace vectoriel, la réponse est 1. |
10_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Soit $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P'(0)=2\}$. Déterminer si $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non. | 0 | Le polynôme nul n'est pas dans $E_2$, car $0'(0)=0\neq 2$. Un sous-espace doit contenir le vecteur nul, donc $E_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel. La réponse est 0. |
11_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Les vecteurs $u=( 1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$ dans $\mathbb{R}^3$. La famille $(u,v)$ est-elle libre ? Répondre par 1 si Oui et 0 si Non. | 1 | Pour être proportionnels il faudrait un scalaire $\lambda$ tel que $v=\lambda u$. Les rapports composante à composante sont $-1/1=-1$, $4/2=2$ et $6/3=2$, qui ne sont pas tous égaux. Donc $u$ et $v$ ne sont pas proportionnels, la famille $(u,v)$ est libre. Réponse : 1. |
12_math_cpge | Combinatorics | cpge | Une course oppose 20 concurrents, dont Émile. Combien y a-t-il de podiums possibles ?
- 6840
- 116280
- 7980
- 684 | 6840 | Pour le premier, on a 20 choix possibles, pour le second 19, pour le troisième 18. Le nombre de podiums possibles est donc $20 \times 19 \times 18 = 6840$. |
13_math_cpge | Combinatorics | cpge | Combien y a-t-il de façons de répartir les 52 cartes d'un jeu entre 4 joueurs N, S, E, O, chacun possédant 13 cartes ?
- 52! / (13!)^4
- (52! * 4!) / (13!)^4
- 52! / (4! * 13!)
- (52! / (13!)^4) * 4! | 52! / (13!)^4 | Il y a (52 choose 13) choix pour le premier joueur, (39 choose 13) pour le deuxième, (26 choose 13) pour le troisième, et le dernier prend les 13 cartes restantes. En factorielle : $\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13} = 52! / (13!)^4$. |
14_math_cpge | Probability | cpge | On tire simultanément trois cartes au hasard dans un paquet de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir que des cœurs ? | 7/620 | Le nombre de tirages de 3 cœurs parmi 8 est C(8,3) = 56. Le nombre total de tirages de 3 cartes parmi 32 est C(32,3) = 4960. La probabilité est donc 56/4960 = 7/620. |
15_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur R² ?
φ₁((x₁,x₂),(y₁,y₂)) = √(x₁² + y₁² + x₂² + y₂²) | 0 | φ₁ n'est pas bilinéaire. Par exemple, pour u=(1,1), φ₁(2u,u) = √10 alors que 2 φ₁(u,u) = 2√4 = 4. Donc φ₁ n'est pas un produit scalaire. |
16_math_cpge | Combinatoire | cpge | Soit n≥4 et a,b,c,d∈{1,…,n} tous distincts. Que vaut (a b)∘(c d)∘(d a) ? | (a c d b) | On calcule l'image de chaque élément sous la permutation composée. Les éléments autres que a,b,c,d sont fixés. Pour a: a→d→c→a, pour b: b→a→b, pour c: c→b→d→c, pour d: d→c→d. On en déduit que la permutation correspond au cycle (a c d b). |
17_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Calculer le rang de la matrice A = [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]. | 2 | On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. Après élimination, on obtient : [[1,2,3],[0,-1,-2],[0,0,0]]. La matrice a donc 2 lignes non nulles, donc rg(A) = 2. |
18_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Calculer le rang de la matrice B = [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,9]]. | 3 | La matrice B est une matrice de Vandermonde 3x3 avec colonnes distinctes. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, aucune ligne ne devient nulle après élimination. Ainsi, le rang de B est 3. |
19_math_cpge | Linear Algebra | cpge | Dimension du sous-espace engendré par $(1,2,3)$ et $(4,5,6)$ dans $\mathbb{R}^3$. | 2 | Ils ne sont pas colinéaires : dimension $2$. |
20_math_cpge | Calculus | cpge | Soient $m,n\in\mathbb{Z}$ avec $n\ge m$. Calculer $\displaystyle \int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx$. | \frac{(n-m)(n+m-1)}{2} | Pour tout entier $p$, on a
$$\int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \int_p^{p+1} p \, dx = p.$$
Ainsi, on peut découper l'intégrale en intervalles unitaires :
$$\int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} \int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} p.$$
Cette somme est une suite arithmétique, donc
$$\sum_{p=m}^{n-1} p = \frac{(n-m)(n+m-1)}{2}.$$ |
21_math_cpge | Calculus | cpge | Calculer \[ \int_{-1}^{2} x |x| \, dx. \] | \frac{7}{3} | On découpe l'intégrale en deux intervalles où $|x|$ s'exprime facilement :
\[ \int_{-1}^{2} x|x| \, dx = \int_{-1}^{0} x|x| \, dx + \int_{0}^{2} x|x| \, dx. \]
Pour $x \in [-1,0]$, $|x| = -x$, donc $\int_{-1}^{0} x|x| \, dx = \int_{-1}^{0} -x^2 \, dx = [-x^3/3]_{-1}^{0} = 1/3$.
Pour $x \in [0,2]$, $|x| = x$, donc $\int_{0}^{2} x|x| \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx = [x^3/3]_{0}^{2} = 8/3$.
En sommant les deux contributions : $1/3 + 8/3 = 7/3$. |
22_math_cpge | Analysis | cpge | Déterminer la limite de
\[ v_n = \left( \prod_{k=1}^{n} (k+n) \right)^{1/n}. \] | \frac{4}{e} | On réécrit \(v_n\) comme :
\[ v_n = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln(k+n) \right). \]
Posons \(f(x) = \ln(x)\) sur [1,2]. La somme
\[ S_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(n + k\right) - \ln(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \]
est une somme de Riemann de \(f\) sur [1,2]. Par le théorème des sommes de Riemann :
\[ S_n(f) \to \int_1^2 \ln(x) \, dx = [x\ln x - x]_1^2 = 2\ln 2 - 1. \]
Ainsi, \(v_n \to \exp(2\ln 2 - 1) = \frac{4}{e}.\) |
23_math_cpge | Polynomials | cpge | Diviser \(X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7\) par \(X^2 + 3X - 1\) et donner le quotient. | X^2 + 2X + 7 | Effectuons la division euclidienne :
1. Divisons le terme de plus haut degré : X^4 / X^2 = X^2 → premier terme du quotient.
2. Multiplions : X^2*(X^2 + 3X - 1) = X^4 + 3X^3 - X^2.
3. Soustrayons : (X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7) - (X^4 + 3X^3 - X^2) = 2X^3 + 13X^2 + 19X - 7.
4. Divisons 2X^3 / X^2 = 2X → deuxième terme du quotient.
5. Multiplions et soustrayons : 2X*(X^2 + 3X - 1) = 2X^3 + 6X^2 - 2X → reste = 7X^2 + 21X - 7.
6. Divisons 7X^2 / X^2 = 7 → troisième terme du quotient.
7. Multiplions et soustrayons : 7*(X^2 + 3X - 1) = 7X^2 + 21X - 7 → reste = 0.
Ainsi, le quotient est X^2 + 2X + 7 et le reste est nul. |
24_math_cpge | Polynomials | cpge | Soit $P \in K[X]$, et $a, b \in K$ avec $a \neq b$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)(X - b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$. | \frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b} | Le reste $R$ est de degré au plus 1, donc $R(X) = \alpha X + \beta$.
On écrit :
$$P(X) = (X - a)(X - b) Q(X) + \alpha X + \beta.$$
En évaluant en $X = a$ et $X = b$, on obtient le système :
$$\begin{cases}
\alpha a + \beta = P(a), \\
\alpha b + \beta = P(b)
\end{cases}$$
Résolvant ce système, on trouve :
$$\alpha = \frac{P(a) - P(b)}{a - b}, \quad \beta = \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$
Ainsi,
$$R(X) = \frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$ |
25_math_cpge | Polynomials | cpge | Soient n, m ≥ 1. Déterminer le pgcd de X^n − 1 et X^m − 1. | X^{\gcd(n,m)} - 1 | On applique l'algorithme d'Euclide sur les polynômes. Supposons n > m et écrivons n = m p + r avec 0 ≤ r < m.
Alors on a :
X^n - 1 = X^{mp+r} - 1 = X^r (X^{mp} - 1) + (X^r - 1).
Or X^{mp} - 1 est divisible par X^m - 1, donc
\gcd(X^n - 1, X^m - 1) = \gcd(X^m - 1, X^r - 1).
Par récurrence et en utilisant l'algorithme d'Euclide sur les entiers, on obtient finalement :
\[
\gcd(X^n - 1, X^m - 1) = X^{\gcd(n,m)} - 1.
\] |
26_math_cpge | Integrals | cpge | Déterminer toutes les primitives de la fonction f_1(x) = 5x^3 − 3x + 7 sur R.
- F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}
- F(x) = 5 x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}
- F(x) = \frac{5}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}
- F(x) = \frac{5}{4} x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} | F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} | Pour trouver la primitive d'un polynôme, on utilise la formule générale : \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1). \] Appliquons-la terme par terme : \[ \int 5x^3 dx = \frac{5}{4} x^4, \quad \int (-3x) dx = -\frac{3}{2} x^2, \quad \int 7 dx = 7x. \] Ainsi, toutes les primitives de f_1 sont données par : \[ F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, \quad C \in \mathbb{R}. \] |
27_math_cpge | Integrals | cpge | Calculer l'intégrale suivante :
\[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx \]
- \frac{\pi}{3}
- \frac{2\pi}{3}
- 1
- 0 | \frac{\pi}{3} | Une primitive de x \mapsto 1 est F(x) = x, et une primitive de x \mapsto \cos(3x) est F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x). Ainsi, \[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx = \Big[x - \frac{1}{3} \sin(3x)\Big]_0^{\pi/3} = \frac{\pi}{3}. \] |
28_math_cpge | Inegrals | cpge | Calculer l'intégrale suivante :
\[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx \]
- 0
- 1
- -1
- \frac{\pi}{2} | 1 | On reconnaît la dérivée de u(x) = x^2, ainsi \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx = \int_0^{\sqrt{\pi}} \frac{1}{2} u'(x) \sin(u(x)) \, dx = \Big[-\frac{1}{2} \cos(x^2)\Big]_0^{\sqrt{\pi}} = 1. \] |
29_math_cpge | Integrals | cpge | Calculer l'intégrale suivante :
\[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx \]
- \frac{1}{2} (\ln 2)^{3/2}
- \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}
- (\ln 2)^{1/2}
- \frac{3}{2} (\ln 2)^{3/2} | \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2} | On pose u(x) = ln(x), alors u'(x) = 1/x. L'intégrale devient : \[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx = \int_0^{\ln 2} u^{1/2} \, du = \Big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \Big]_0^{\ln 2} = \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}. \] |
30_math_cpge | Integrals | cpge | Calculer l'intégrale suivante :
\[ I = \int_0^1 x e^x \, dx \] | 1 | On utilise l'intégration par parties en posant :
\[ u(x) = x, \quad u'(x) = 1, \quad v'(x) = e^x, \quad v(x) = e^x. \]
Alors :
\[ \int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1. \] |
31_math_cpge | Integrals | cpge | Calculer l'intégrale suivante :
\[ J = \int_1^e x^2 \ln x \, dx \]
Quel est le résultat ?
- \(\frac{2 e^3 + 1}{9}\)
- \(\frac{e^3 - 1}{3}\)
- \(\frac{e^3 + 1}{6}\)
- \(e^3 - \frac{1}{3}\) | \frac{2 e^3 + 1}{9} | On utilise l'intégration par parties en posant :
\[ u(x) = \ln x, \quad u'(x) = \frac{1}{x}, \quad v'(x) = x^2, \quad v(x) = \frac{x^3}{3}. \]
Alors :
\[ \int_1^e x^2 \ln x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx. \]
Calculons chaque terme :
\[ \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e = \frac{e^3}{3} - 0 = \frac{e^3}{3}, \quad \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{e^3 - 1}{3} = \frac{e^3 - 1}{9}. \]
Donc :
\[ J = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3 - 1}{9} = \frac{3 e^3 - (e^3 - 1)}{9} = \frac{2 e^3 + 1}{9}. \] |
32_math_cpge | Differential Equations | cpge | Déterminer la solution de l'équation différentielle
\[ y' + 2y = -4, \quad y(1) = -3. \] | y(t) = -2 - e^2 e^{-2t} | On commence par résoudre l'équation homogène :
\[ y' + 2y = 0 \]
Les solutions sont de la forme :
\[ y_h(t) = C e^{-2t}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Cherchons une solution particulière de l'équation complète. Une fonction constante convient :
\[ y_p(t) = -2 \]
En effet, \(y_p' + 2y_p = 0 + 2(-2) = -4\).
Ainsi, la solution générale est :
\[ y(t) = y_p(t) + y_h(t) = -2 + C e^{-2t}. \]
En utilisant la condition initiale \(y(1) = -3\) :
\[ -2 + C e^{-2} = -3 \implies C = -e^2. \]
Donc la solution particulière est :
\[ \boxed{y(t) = -2 - e^2 e^{-2t} = -2 - e^{2-2t}}. \] |
33_math_cpge | Differential Equations | cpge | Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) :
\[ y' + x^2 y = -x^2. \]
- \(y(x) = -1 + e^{-x^3/3}\)
- \(y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = -x^2 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\) | y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R} | On commence par résoudre l'équation homogène :
\[ y' + x^2 y = 0. \]
Une primitive de \(x^2\) est \(x^3/3\), donc les solutions de l'équation homogène sont :
\[ y_h(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, on remarque que la constante \(y_p(x) = -1\) convient car :
\[ y_p' + x^2 y_p = 0 + x^2(-1) = -x^2. \]
Ainsi, la solution générale est :
\[ y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] |
34_math_cpge | Differential Equations | cpge | Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) :
\[ y' + y = \frac{1}{1+e^x}. \]
- \(y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x)\)
- \(y(x) = \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = \frac{1}{1+e^x} + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\) | y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R} | On commence par résoudre l'équation homogène :
\[ y' + y = 0. \]
La solution générale est :
\[ y_h(x) = \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
On cherche une solution particulière sous la forme \(y_p(x) = \lambda(x) e^{-x}\), alors :
\[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x}. \]
En substituant dans l'équation :
\[ \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x} + \lambda(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}. \]
Une primitive de \(e^x/(1+e^x)\) est \(\ln(1+e^x)\). Donc une solution particulière est :
\[ y_p(x) = e^{-x} \ln(1+e^x). \]
Ainsi, la solution générale est :
\[ y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] |
35_math_cpge | Differential Equations | cpge | Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(]-1,+\infty[\) :
\[ (1+x)y' + y = 1 + \ln(1+x). \]
- \(y(x) = \frac{1}{1+x} + \ln(1+x)\)
- \(y(x) = \lambda (1+x), \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + \ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}\) | y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R} | On commence par résoudre l'équation homogène :
\[ (1+x)y' + y = 0. \]
La solution générale est :
\[ y_h(x) = \frac{\lambda}{1+x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
On cherche une solution particulière par variation de la constante, posant \(y_p(x) = \lambda(x)/(1+x)\). Alors :
\[ y_p'(x) = \frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}. \]
Substituons dans l'équation :
\[ (1+x)\left(\frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}\right) + \frac{\lambda(x)}{1+x} = 1 + \ln(1+x) \Rightarrow \lambda'(x) = 1 + \ln(1+x). \]
Une primitive est \(\lambda(x) = (1+x)\ln(1+x)\). Ainsi, la solution générale est :
\[ y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] |
36_math_cpge | Differential Equations | cpge | Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) :
\[ y' - 2xy = -(2x-1)e^x. \]
- \(y(x) = e^x\)
- \(y(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R}\)
- \(y(x) = e^{-x^2} + x\) | y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R} | On commence par résoudre l'équation homogène :
\[ y' - 2xy = 0. \]
En séparant les variables :
\[ \frac{y'}{y} = 2x \Rightarrow \ln|y| = x^2 + C \Rightarrow y_h(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}. \]
Pour une solution particulière, on pose \(y_p(x) = \lambda(x) e^{x^2}\). Alors :
\[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{x^2} + 2x \lambda(x) e^{x^2}. \]
Substituons dans l'équation :
\[ y_p' - 2xy_p = \lambda'(x)e^{x^2} = -(2x-1)e^x \Rightarrow \lambda'(x) = -(2x-1)e^{x-x^2}. \]
Une primitive est \(\lambda(x) = e^{-x^2+x} = e^{-x^2} e^x\). Donc une solution particulière est \(y_p(x) = e^x\). La solution générale est :
\[ y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] |
37_math_cpge | Logique et nombres | cpge | 136 est un multiple de 17 et 2 divise 167. Indiquer 1 si c’est vrai, 0 sinon. | 0 | Cette proposition est fausse, car 2 ne divise pas 167. |
38_math_cpge | Logique et nombres | cpge | 136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon. | 1 | Cette proposition est vraie, car 136 est un multiple de 17. |
39_math_cpge | Logic | cpge | Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0 et x+2=0 en même temps. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon. | 0 | Cette proposition est fausse, car x devrait être simultanément égal à -1 et à -2, ce qui est impossible. |
40_math_cpge | Logic | cpge | Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0, et il existe x ∈ ℝ tel que x+2=0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon. | 1 | Cette proposition est vraie car ∃x ∈ ℝ, x+1=0 est vraie (il suffit de prendre x=-1) et de la même façon ∃x ∈ ℝ, x+2=0 est vraie (il suffit de prendre x=-2). |
41_math_cpge | Logic | cpge | Pour tout x ∈ ℝ, x+1 ≠ 0 ou x+2 ≠ 0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon. | 1 | Cette proposition est vraie, car il s'agit de la négation de la proposition 3, qui est fausse. |
42_math_cpge | Linear equations | cpge | Résoudre le système suivant :
\[
x + y + 2z = 3\\
x + 2y + z = 1\\
2x + y + z = 0
\]
Indiquer la solution sous forme (x, y, z). | (-1, 0, 2) | On utilise la méthode du pivot de Gauss :
1) Soustraire L1 de L2 et 2*L1 de L3 pour simplifier le système :
\[
y - z = -2\\
-4z = -8\]
2) On en déduit z=2, y=0 et enfin x=-1.
Donc la solution est (x, y, z) = (-1, 0, 2). |
43_math_cpge | Linear equations | cpge | Résoudre le système suivant :
\[
x + 2z = 1\\
-y + z = 2\\
x - 2y = 1
\]
Indiquer la solution sous forme (x, y, z). | (-1, -1, 1) | On applique la méthode du pivot de Gauss :
1) De L3 - L1 on obtient -4z=-4 => z=1
2) Puis de L2, -y + z = 2 => -y + 1 = 2 => y=-1
3) Enfin de L1, x + 2*1 = 1 => x=-1
Donc la solution est (x, y, z) = (-1, -1, 1). |
44_math_cpge | Series | cpge | Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse :
2\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + 2\cdot 12
- \sum_{k=2}^{12} 2k
- \sum_{k=3}^{12} 2k
- \sum_{k=1}^{12} 2k
- \sum_{k=3}^{13} 2k | \sum_{k=3}^{12} 2k | La somme commence à k=3 et se termine à k=12, chaque terme étant multiplié par 2. Donc la bonne notation est \sum_{k=3}^{12} 2k. |
45_math_cpge | Series | cpge | Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse :
1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + \cdots + 10\cdot 1024
- \sum_{k=0}^{9} k 2^k
- \sum_{k=1}^{10} k 2^k
- \sum_{k=1}^{11} k 2^k
- \sum_{k=2}^{10} k 2^k | \sum_{k=1}^{10} k 2^k | Chaque terme est de la forme k*2^k, k allant de 1 à 10. Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{10} k 2^k. |
46_math_cpge | Series | cpge | Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse :
2 - 4 + 6 - 8 + \cdots + 50
- \sum_{k=1}^{25} (-1)^k 2k
- \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k
- \sum_{k=1}^{50} (-1)^{k+1} k
- \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} k | \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k | Les termes alternent en signe et sont tous pairs (2k). Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k. |
47_math_cpge | Series | cpge | Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse :
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \cdots + 1/(2n-1) - 1/(2n)
- \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}/(2k-1)
- \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k/k
- \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k
- \sum_{k=1}^{n} (-1)^k/(2k) | \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k | La somme alterne les signes pour les termes 1/k de k=1 à 2n, donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k. |
48_math_cpge | Complex numbers | cpge | Mettre sous forme algébrique le nombre complexe suivant et choisir la bonne réponse :
$$z_5 = i (1 - 3i)^2$$
- $$-6 - 8i$$
- $$6 - 8i$$
- $$-6 + 8i$$
- $$6 + 8i$$ | 6 - 8i | Calculons $$(1 - 3i)^2 = 1 - 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i.$$ Ensuite, multiplions par $i$ : $$i(-8 - 6i) = -8i - 6i^2 = -8i + 6 = 6 - 8i.$$ |
49_math_cpge | Complex numbers | cpge | Résoudre l'équation complexe :
$$\exp(z) = 3\sqrt{3} - 3i$$
Choisir la bonne réponse :
- $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$
- $$z = \ln(6) + i(\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$
- $$z = \ln(6) - i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$
- $$z = \ln(3) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ | z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z} | On pose $z = a + ib$, $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $$\exp(z) = \exp(a) \cdot \exp(ib).$$ Mettons $3\sqrt{3} - 3i$ sous forme trigonométrique : $$|3\sqrt{3} - 3i| = \sqrt{27+9} = 6$$ et argument $$\theta = -\pi/6.$$ Donc $$3\sqrt{3} - 3i = 6 \exp(-i\pi/6).$$ Ainsi $$\exp(a) = 6 \Rightarrow a = \ln(6)$$ et $$b = -\pi/6 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$ Donc $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}.$$ |
50_math_cpge | Complex numbers | cpge | Résoudre l'équation complexe suivante :
$$z + 2i = iz - 1$$ | z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i | On commence par regrouper les termes contenant $z$ d'un côté : $$z - iz = -1 - 2i$$
Factorisation : $$z(1 - i) = -1 - 2i$$
Division par $(1 - i)$ : $$z = \frac{-1 - 2i}{1 - i}$$
Multiplication par le conjugué : $$z = \frac{(-1 - 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$$
$$z = \frac{-1 - 3i + 2}{2}$$
Solution finale : $$z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$$ |
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in Data Studio
Kholle Benchmark
Kholle is a french benchmark designed for small language models (SLMs) to evaluate their academic and school-level knowledge in science, ranging from high school to French preparatory classes (classes prépa).
The benchmark consists of short course-style questions and small exercises, similar to those that could appear in exams.
All metrics and extraction code for evaluation are available in the official Luth repo.
Dataset Construction
- Built manually from official French high school and preparatory class curricula.
- Most mathematics questions are sourced from Bibmath.
- Covers three main scientific domains:
- Mathematics: 100 questions
- Physics & Chemistry: 50 questions
- Biology (SVT): 25 questions
Statistics
| Domain | # Questions | Level split (HS / Prépa) |
|---|---|---|
| Mathematics | 100 | 50 / 50 |
| Physics & Chemistry | 50 | 25 / 25 |
| Biology (SVT) | 25 | 25 |
| Total | 175 | 100 / 75 |
Citation
@misc{scholar2025kurakurai,
title = {Kholle},
author = {Kurakura AI Team},
year = {2025},
howpublished = {\url{https://huggingface.co/kurakurai/kholle}},
note = {French benchmark designed for **small language models (SLMs)** to evaluate their academic and school-level knowledge in science.}
}
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